必修一

第一章集合与常用逻辑用语

1.1 集合的概念

1.集合的描述

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.

2.集合的三个特性

（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明.

（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.

（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.

3.集合中元素的三个特性

（1）确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一.

（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的.

（3）无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变.

4.集合的符号表示

通常用大写的字母

A

，

B

，

C

，…表示集合，用小写的字母

a

，

b

，

c

表示集合中的元素.

5.集合的相等

当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合

A

与集合

B

相等记作

A = B

6.元素与集合之间的关系

（1）属于：如果

a

是集合

A

中的元素，就说

a

属于集合

A

，记作

a \in A

，读作

a

属于

A

（2）不属于:如果

a

不是集合

A

中的元素，就说

a

不属于集合

A

，记作

a \in / A

，读作

a

不属于

A

7.集合的分类

（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程

x^{2} = 1

的实数根组成的集合.

（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式

x - 1 > 0

的解组成的集合.

8.常用数集及其记法

（1）正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作

N^{*}

或

N_{+}

（2）自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作

N

（3）整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作

Z

（4）有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作

Q

（5）实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作

R

9.集合表示的方法

（1）自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合.

（2）列举法：把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元素一一列举出来并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为

{

太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋

}

，把“方程

(x - 1) (x + 2) = 0

的所有实数根”组成的集合表示为

{1, - 2}

（3）描述法：通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为

{x ∣ p (x) ∣}

，其中

x

是集合中的元素代表，

p (x)

则表示集合中的元素所具有的共同特征.

例如，不等式

x - 7 < 3

的解集可以表示为

1.2 集合间的基本关系

1. 子集

一般地，对于两个集合

A

B

,如果集合

A

中任意一个元素都是集合

B

中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合

A

为集合

B

的子集，记为

A \subseteq B

或（

B \supseteq A

）

读作集合

A

包含于集合

B

（或集合

B

包含集合

A

）.

集合

A

是集合

B

的子集可用

V e nn

图表示如下：

或

关于子集有下面的两个性质：

（1）反身性：

A \subseteq A

；

（2）传递性：如果

A \subseteq B

，且

B \subseteq C

，那么

A \subseteq C

2.真子集

如果集合

，但存在元素

，且

，我们称集合

是集合

B

的真子集，记为

A \subset \neq = B

（或

B \supset \neq = A

），

读作集合

A

真包含于集合

B

（或集合

B

真包含集合

A

）.

集合

A

是集合

B

的真子集可用

V e nn

图表示如右.

3.集合的相等

如果集合

，且

，此时集合

与集合

的元素是

一样的，我们就称集合

A

与集合

B

相等，记为

A = B

集合

A

与集合

B

相等可用

V e nn

图表示如右.

4.空集

我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为

\emptyset

.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即

（1）

\emptyset \subseteq A

（

A

是任意一个集合）；

（2）

\emptyset \subset \neq = A

（

A \neq = \emptyset

）.

1.3 集合的运算

1.并集

自然语言：一般地，由所有属于集合

A

或属于集合

B

的元素组成的集合，称为集合

A

与

B

的并集，记作

A \cup B

（读作“

A

并

B

”）.

符号语言：

A \cup B = {x ∣ x ∣ \in A, 或 x \in B}

图形语言：

理解：

x \in A

或

x \in B

包括三种情况：

x \in A

且

x \in / B

；

x \in B

且

x \in / A

；

x \in A

且

x \in B

并集的性质：

（1）

A \cup B = B \cup A

；

（2）

A \cup A = A

；

（3）

A \cup \emptyset = A

；

（4）

(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)

；

（5）

A \subseteq A \cup B

，

B \subseteq A \cup B

；

（6）

A \cup B = B \Leftrightarrow A \subseteq B

2.交集

自然语言：一般地，由属于集合

A

且属于集合

B

的所有元素组成的集合，称为

A

与

B

的交集，记作

A \cap B

（读作“

A

交

B

”）.

符号语言：

A \cap B = {x ∣ x ∣ \in A, 且 x \in B}

图形语言：

理解：当

A

与

B

没有公共元素时，不能说

A

与

B

没有交集，只能说

A

与

B

的交集是

\emptyset

交集的性质：

（1）

A \cap B = B \cap A

；

（2）

A \cap A = A

；

（3）

A \cap \emptyset = \emptyset

；

（4）

(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)

；

（5）

A \cap B \subseteq A

，

A \cap B \subseteq B

；

（6）

A \cap B = A \Leftrightarrow A \subseteq B

3.补集

（1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作

U

（2）补集的概念

自然语言：对于一个集合

A

，由属于全集

U

且不属于集合

A

的所有元素组成的集合称为集合

A

相对于全集

U

的补集，记为

∁_{U} A

符号语言：

∁_{U} A = {x ∣ x ∣ \in U, 且 x \in / A}

图形语言：

补集的性质

（1）

A \cap (∁_{U} A) = \emptyset

；

（2）

A \cup (∁_{U} A) = U

；

（3）

(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B) = ∁_{U} (A \cap B)

；

（4）

(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) = ∁_{U} (A \cup B)

1.4 充分条件与必要条件

1.充分条件与必要条件

一般地，“若

p

，则

q

”为真命题，是指由

p

通过推理可以得出

q

.这时，我们就说，由

p

可推出

q

，记作

p \Rightarrow q

，

并且说

p

是

q

的充分条件，

q

是

p

的必要条件.

在生活中，

q

是

p

成立的必要条件也可以说成是:

\neg q \Rightarrow \neg p

（

\neg q

表示

q

不成立），其实，这与

p \Rightarrow q

是等价的.但是，在数学中，我们宁愿采用第一种说法.

如果“若

p

，则

q

”为假命题，那么由

p

推不出

q

，记作

p \Rightarrow / q

.此时，我们就说

p

不是

q

的充分条件，

q

不是

p

的必要条件.

2.充要条件

如果“若

p

，则

q

”和它的逆命题“若

q

则

p

”均是真命题，即既有

p \Rightarrow q

，又有

q \Rightarrow p

就记作

p \Leftrightarrow q

此时，我们就说

p

是

q

的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果

p

是

q

的充要条件，那么

q

也是

p

的充要条件.概括地说，如果

p \Leftrightarrow q

，那么

p

与

q

互为充要条件.

“

p

是

q

的充要条件”,也说成“

p

等价于

q

”或“

q

当且仅当

p

”等.

1.5 全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词

（1）全称量词

短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“

\forall

”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.

全称量词命题“对

M

中的任意一个

x

，有

p (x)

成立”可用符号简记为

\forall x \in M

，

p (x)

，

读作“对任意

x

属于

M

，有

p (x)

成立”.

（2）存在量词

短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“

\exists

”表示.常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.

存在量词命题“存在

M

中的元素

x

，使

p (x)

成立”可用符号简记为

\exists x \in M

，

p (x)

，

读作“存在

M

中的元素

x

，使

p (x)

成立”.

2.全称量词命题和存在量词命题的否定

（1）全称量词命题的否定

全称量词命题：

\forall x \in M

，

p (x)

，

它的否定：

\exists x \in M

，

\neg p (x)

全称量词命题的否定是存在量词命题.

（2）存在量词命题的否定

存在量词命题：

\exists x \in M

，

p (x)

，

它的否定：

\forall x \in M

，

\neg p (x)

存在量词命题的否定是全称量词命题.

第一章 集合与常用逻辑用语

1.1 集合的概念

1.集合的描述

2.集合的三个特性

3.集合中元素的三个特性

4.集合的符号表示

5.集合的相等

6.元素与集合之间的关系

7.集合的分类

8.常用数集及其记法

9.集合表示的方法

1.2 集合间的基本关系

1. 子集

2.真子集

3.集合的相等

4.空集

1.3 集合的运算

1.并集

2.交集

3.补集

1.4 充分条件与必要条件

1.充分条件与必要条件

2.充要条件

1.5 全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词

2.全称量词命题和存在量词命题的否定

第一章集合与常用逻辑用语