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必修一

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1 等式性质与不等式性质

1.比较原理

a > b \Leftrightarrow a - b > 0

；

a = b \Leftrightarrow a - b = 0

；

a < b \Leftrightarrow a - b < 0

.

2.等式的基本性质

性质1 如果

a = b

，那么

b = a

；

性质2 如果

a = b

，

b = c

，那么

a = c

；

性质3 如果

a = b

，那么

a \pm c = b \pm c

；

性质4 如果

a = b

，那么

a c = b c

；

性质5 如果

a = b

，

c \neq = 0

，那么

\frac{a}{c} = \frac{b}{c}

.

3.不等式的基本性质

性质1 如果

a > b

，那么

b < a

；如果

b < a

，那么

a > b

.即

性质2 如果

a > b

，

b > c

，那么

a > c

.即

a > b

，

b > c \Rightarrow a > c

.

性质3 如果

a > b

，那么

a + c = b + c

.

由性质3可得，

a + b > c \Rightarrow a + b + (- b) > c + (- b) \Rightarrow a > c - b

.

这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.

性质4 如果

a > b

，

c > 0

，那么

a c > b c

；如果

a > b

，

c < 0

，那么

a c < b c

.

性质5 如果

a > b

，

c > d

，那么

a + c > b + d

.

性质6 如果

a > b > 0

，

c > d > 0

，那么

a c > b d

.

性质7 如果

a > b > 0

，那么

a^{n} > b^{n}

（

n \in N

，

n \geq 2

）.

2.2 基本不等式

1.重要不等式

\forall a, b \in R

，有

a^{2} + b^{2} \geq 2 ab

，

当且仅当

a = b

时，等号成立.

2.基本不等式

如果

a > 0

，

b > 0

，则

ab \leq \frac{a + b}{2}

，

当且仅当

a = b

时，等号成立.

\frac{a + b}{2}

叫做正数

a

，

b

的算术平均数，

ab

叫做正数

a

，

b

的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

3.与基本不等式相关的不等式

（1）当

a, b \in R

时，有

ab \leq (\frac{a + b}{2})^{2}

，

当且仅当

a = b

时，等号成立.

（2）当

a > 0

，

b > 0

时，有

\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq ab

，

当且仅当

a = b

时，等号成立.

（3）当

a, b \in R

时，有

(\frac{a + b}{2})^{2} \leq \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}

，

当且仅当

a = b

时，等号成立.

4.利用基本不等式求最值

已知

x > 0

，

y > 0

，那么

（1）如果积

x y

等于定值

P

，那么当

x = y

时，和

x + y

有最小值

2 P

；

（2）如果和

x + y

等于定值

S

，那么当

x = y

时，积

x y

有最大值

\frac{1}{4} S^{2}

.

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系


二次函数（）的图象
一元二次方程	有两相异实根	有两相等实根	无实根
			R