必修一

第三章函数的概念与性质

3.1 函数的概念及其表示

1.函数的概念

设

A

B

是非空的实数集，如果对于集合

A

中的任意一个数

x

，按照某种确定的对应关系

f

，在集合

B

中都有唯一确定的的数

y

和它对应，那么就称

f : A \to B

为从集合

A

到集合

B

的一个函数，记作

y = f (x)

x \in A

其中，

x

叫做自变量，

x

的取值范围

A

叫做函数的定义域，与

x

的值相对应的

y

值叫做函数值，函数值的集合

{f (x) ∣ x \in A}

叫做函数的值域，显然，值域是集合

B

的子集.

2.区间

设

a

b

是两个实数，而且

a < b

，我们规定：

（1）满足不等式

a \leq x \leq b

的实数

x

的集合叫做闭区间，表示为

[a, b]

；

（2）满足不等式

a < x < b

的实数

x

的集合叫做开区间，表示为

(a, b)

；

（3）满足不等式

a \leq x < b

或

a < x \leq b

的实数

x

的集合叫做半开半闭区间，分别表示为：

[a, b)

(a, b]

这里的实数

a

，

b

都叫做相应区间的端点.

这些区间的几何表示如下表所示.

定义	名称	符号	数轴表示
	闭区间
	开区间
	半开半闭区间
	半开半闭区间

（4）实数集

R

可以表示为

(- \infty, + \infty)

,“

\infty

”读作“无穷大”，“

- \infty

”读作“负无穷大”，“

+ \infty

”

读作“正无穷大”.

满足

x \geq a

，

x > a

，

x \leq b

，

x < b

的实数

x

的集合，用区间分别表示为

[a, + \infty)

，

(a, + \infty)

(- \infty, b]

，

(- \infty, b)

这些区间的几何表示如下表所示.

定义	符号	数轴表示

注意：

（1）“

\infty

”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数.

（2）以“

- \infty

”或“

+ \infty

”为区间的一端时，这一端点必须用小括号.

3.函数的三要素

（1）定义域；

（2）对应关系；

（3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.

4.函数的相等

如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数.

5.函数的表示方法

（1）解析法

用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.

解析法是表示函数的一种重要的方法，这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系.

（2）图象法

用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.

图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势，从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系.

说明：将自变量的一个值

x_{0}

作为横坐标，相应的函数值

f (x_{0})

作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点

(x_{0}, f (x_{0}))

.当自变量取遍函数的定义域

A

中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数

y = f (x)

的图象.函数

y = f (x)

的图象在

x

轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在

y

轴上的射影构成的集合就是函数的值域.

函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等.

（3）列表法

通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如，初中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的.

6.分段函数

（1）分段函数的概念

有些函数在其定义域内，对于自变量

x

的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如

（1）

f (x) = ∣ x ∣ = {- x, x < 0, x, x \geq 0}

，（2）

f (x) = {x^{2}, x \leq 0, - x^{2}, x > 0}

说明：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.

②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围.

③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.

④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.

（2）分段函数的图象

分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分

段函数的图象.

3.2 函数的基本性质

函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性.

1.单调性与最大（小）值

（1）增函数

设函数

f (x)

的定义域为I,区间D

\subseteq

I.如果

\forall x_{1}

，

x_{2} \in D

，当

x_{1} < x_{2}

时，都有

f (x_{1}) < f (x_{2})

,那么就称函数

f (x)

在区间D上单调递增.

特别地，当函数

f (x)

在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

（2）减函数

设函数

f (x)

的定义域为I，区间D

\subseteq

I.如果

\forall x_{1}

，

x_{2} \in D

，当

x_{1} < x_{2}

时，都有

f (x_{1}) > f (x_{2})

,那么就称函数

f (x)

在区间D上单调递增.

特别地，当函数

f (x)

在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.

（3）单调性、单调区间、单调函数

如果函数

y = f (x)

在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数

y = f (x)

在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做

y = f (x)

的单调区间.

如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.

（4）证明函数

f (x)

在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下：

①设值：设

x_{1}, x_{2} \in D

，且

x_{1} < x_{2}

；

②作差：

f (x_{1}) - f (x_{2})

；

③变形：对

f (x_{1}) - f (x_{2})

变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心，要注意变形到底；

④判断符号，得出函数的单调性.

（5）函数的最大值与最小值

①最大值：设函数

y = f (x)

的定义域为I，如果存在实数M满足:

（1）对于任意的

x \in I

，都有

f (x) \leq M

；

（2）存在

x_{0} \in I

，使得

f (x_{0}) = M

那么我们称M是函数

y = f (x)

的最大值.

②最小值：设函数

y = f (x)

的定义域为I，如果存在实数m满足:

（1）对于任意的

x \in I

，都有

f (x) \geq m

；

（2）存在

x_{0} \in I

，使得

f (x_{0}) = m

那么我们称

m

是函数

y = f (x)

的最小值.

2.奇偶性

（1）偶函数

设函数

f (x)

的定义域为

I

，如果

\forall x \in I

，都有

- x \in I

，且

f (- x) = f (x)

，那么函数

f (x)

就叫做偶函数.

关于偶函数有下面的结论：

①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；

②偶函数的图象关于

y

轴对称.反之也成立；

③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.

（2）奇函数

设函数

f (x)

的定义域为

I

，如果

\forall x \in I

，都有

- x \in I

，且

f (- x) = - f (x)

，那么函数

f (x)

就叫做奇函数.

关于奇函数有下面的结论：

①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；

②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；

③如果奇函数当

x = 0

时有意义，那么

f (0) = 0

.即当

x = 0

有意义时，奇函数的图象过坐标原点；

④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.

3.3 幂函数

1.幂函数的概念

一般地，形如

y = x^{α}

（

α \in R

，

α

为常数）的函数称为幂函数.

对于幂函数，我们只研究

α = 1

，

2

，

3

，

\frac{1}{2}

，

- 1

时的图象与性质.

2.五个幂函数的图象和性质


定义域
值域
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数	非奇非偶	奇函数
单调性	增函数	在上递减在上递增	增函数	增函数	在，上递减
定点

3.4 函数的应用（一）

略.

第三章 函数的概念与性质