必修一

第四章指数函数与对数函数

4.1 指数

1.n次方根与分数指数幂

（1）方根

如果

x^{n} = a

，那么

x

叫做

a

的

n

次方根，其中

n > 1

，且

n \in N *

①当

n

是奇数时，正数的

n

次方根是正数，负数的

n

方根是负数.这时，

a

的

n

方根用符号

n a

表示.

②当

n

是偶数时，正数的

n

次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数

a

的正的

n

次方根用符号

n a

表示，负的

n

次方根用符号

- n a

表示. 正的

n

次方根与负的

n

次方根可以合并写成

\pm n a

（

a > 0

）.

负数没有偶次方根.

0的任何次方根都是0，记作

n 0 = 0

式子

n a

叫做根式，这里

n

叫做根指数，

a

叫做被开方数.

关于根式有下面两个等式：

(n a)^{n} = a

；

n a^{n} = {a, n 为奇数 ∣ a ∣, n 为偶数 .}

2.分数指数幂

（1）正分数指数幂

a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}

（

a > 0

，

m

，

n \in N *

，

n > 1

）.

0的正分数指数幂等于0

（2）负分数指数幂

a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{a ^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{n a ^{m}}

（

a > 0

，

m

，

n \in N *

，

n > 1

）.

0的负分数指数幂没有意义.

（3）有理数指数幂的运算性质

①

a^{r} a^{s} = a^{r + s}

（

a > 0

，

r

，

s \in Q

）；

②

(a^{r})^{s} = a^{r s}

（

a > 0

，

r

，

s \in Q

）；

③

(ab)^{r} = a^{r} b^{r}

（

a > 0

，

b > 0

，

r \in Q

）.

3. 无理数指数幂及其运算性质

（1）无理数指数幂的概念

当

x

是无理数时，

a^{x}

是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当

x

的不足近似值

m

和过剩近似值

n

逐渐逼近

x

时，

a^{m}

和

a^{n}

都趋向于同一个数，这个数就是

a^{x}

.所以无理数指数幂

a^{x}

（

a > 0

，

x

是无理数）是一个确定的数.

（2）实数指数幂的运算性质

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数

r

，

s

，均有下面的运算性质.

①

a^{r} a^{s} = a^{r + s}

（

a > 0

，

r

，

s \in R

）；

②

(a^{r})^{s} = a^{r s}

（

a > 0

，

r

，

s \in R

）；

③

(ab)^{r} = a^{r} b^{r}

（

a > 0

，

b > 0

，

r \in R

）.

4.2 指数函数

1.指数函数的概念

函数

y = a^{x}

（

a > 0

，且

a \neq = 1

）叫做指数函数，其中指数

x

是自变量，定义域是

R

2.指数函数的图象和性质

一般地，指数函数

y = a^{x}

（

a > 0

，且

a \neq = 1

）的图象和性质如下表所示：


图象
定义域
值域
性质	（1）过定点，即时，	（1）过定点，即时，
性质	（2）在上是减函数	（2）在上是增函数

4.3 对数

1.对数的概念

一般地，如果

a^{x} = N (a > 0, a \neq = 1)

，那么数

x

叫做以

a

为底

N

的对数，记作

其中

a

叫做对数的底数，

N

叫做真数.

当

a > 0

，且

a \neq = 1

时，

a^{x} = N \Leftrightarrow x = l o g_{a} N

2. 两个重要的对数

（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把

l o g_{10} N

记为

l g N

（2）自然对数：以

e

（

e

是无理数，

e = 2.71828

…）为底的对数叫做自然对数，并把

l o g_{e} N

记作

l n N

3. 关于对数的几个结论

（1）负数和0没有对数；

（2）

l o g_{a} 1 = 0

；

（3）

l o g_{a} a = 1

4. 对数的运算

如果

a > 0

，且

a \neq = 1

，

M > 0

，

N > 0

，那么

（1）

l o g_{a} (M N) = l o g_{a} M + l o g_{a} N

；

（2）

l o g_{a} \frac{M}{N} = l o g_{a} M - l o g_{a} N

；

（3）

l o g_{a} M^{n} = n l o g_{a} M

（

n \in R

）.

5. 换底公式

l o g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}

（

a > 0

，且

a \neq = 1

，

b > 0

，

c > 0

，

c \neq = 1

）.

4.4 对数函数

1. 对数函数的概念

一般地，函数

y = l o g_{a} x

（

a > 0

，且

a \neq = 1

）叫做对数函数，其中

x

是自变量，定义域是

(0, + \infty)

2.对数函数的图象和性质


图象
定义域
值域
性质	（1）过定点，即当时，.	（1）过定点，即当时，.
性质	（2）增函数	（2）减函数

3. 反函数

指数函数

y = a^{x}

（

a > 0

，且

a \neq = 1

）与对数函数

y = l o g_{a} x

（

a > 0

，且

a \neq = 1

）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.

互为反函数的两个函数的图象关于直线

y = x

对称.

4. 不同函数增长的差异

对于对数函数

y = l o g_{a} x

（

a > 1

）、一次函数

y = k x

（

k > 0

）、指数函数

y = b^{x}

（

b > 1

）来说，尽管它们在

(0, + \infty)

上都是增函数，但是随着

x

的增大，它们增长的速度是不相同的.其中对数函数

y = l o g_{a} x

（

a > 1

）的增长速度越来越慢；一次函数

y = k x

（

k > 0

）增长的速度始终不变；指数函数

y = b^{x}

（

b > 1

）增长的速度越来越快.总之来说，不管

a

（

a > 1

），

k

（

k > 0

），

b

（

b > 1

）的大小关系如何，

y = b^{x}

（

b > 1

）的增长速度最终都会大大超过

y = k x

（

k > 0

）的增长速度；

y = k x

（

k > 0

）的增长速度最终都会大大超过

y = l o g_{a} x

（

a > 1

）的增长速度.因此，总会存在一个

x_{0}

，当

x > x_{0}

时，恒有

b^{x} > k x > l o g_{a} x

4.5 函数的应用（二）

1. 函数的零点与方程的解

（1）函数零点的概念

对于函数

y = f (x)

，我们把使

f (x) = 0

的实数

x

叫做函数

y = f (x)

的零点.

函数

y = f (x)

的零点就是方程

f (x) = 0

的实数解，也是函数

y = f (x)

的图象与

x

轴的公共点的横坐标.所以

方程

f (x) = 0

有实数解

\Leftrightarrow

函数

y = f (x)

有零点

\Leftrightarrow

函数

y = f (x)

的图象与

x

轴有公共点.

（2）函数零点存在定理

如果函数

y = f (x)

在区间

[a, b]

上的图象是一条连续不断的曲线，且有

f (a) f (b) < 0

，那么，函数

y = f (x)

在区间

(a, b)

内至少有一个零点，即存在

c \in (a, b)

，使得

f (c) = 0

，这个

c

也就是方程

f (x) = 0

的解.

2. 用二分法求方程的近似解

对于在区间

[a, b]

上图象连续不断且

f (a) f (b) < 0

的函数

y = f (x)

，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

给定精确度

ε

，用二分法求函数

y = f (x)

零点

x_{0}

的近似值的一般步骤如下：

（1）确定零点

x_{0}

的初始区间

[a, b]

，验证

f (a) f (b) < 0

（2）求区间

(a, b)

的中点

c

（3）计算

f (c)

，并进一步确定零点所在的区间：

①若

f (c) = 0

（此时

x_{0} = c

），则

c

就是函数的零点；

②若

f (a) f (c) < 0

（此时

x_{0} \in (a, c)

），则令

b = c

；

③若

f (c) f (b) < 0

（此时

x_{0} \in (c, b)