必修一

第五章三角函数

5.1 任意角和弧度制

1.任意角

（1）角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从

一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

射线的端点叫做角的顶点，射线在起始

位置和终止位置分别叫做角的始边和终边.

（2）正角、负角、零角

按逆时针方向旋转所成的角叫正角；

按顺时针方向旋转所成的角叫负角；

一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角.

这样，我们就把角的概念推广到了任意角.

（3）象限角

当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与

x

轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限.

（4）终边相同的角

所有与角

α

终边相同的角，连同角

α

在内，可构成一个集合

a > b \Leftrightarrow b < a

即任一与角

α

终边相同的角，都可以表示成角

α

与整数个周角的和.

终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；

终边相同的角有无数多个，它们相差

36 0^{\circ}

的整数倍；

象限角的表示：

第一象限角的集合

第二象限角的集合

第三象限角的集合

第四象限角的集合

S = {β ∣ β = α + k \cdot 36 0^{\circ}, k \in Z}

终边落在坐标轴上的角在以后的学习中很重要，它们的表示如下表.

位置	表示
终边在轴非负半轴
终边在轴非正半轴
终边在轴
终边在轴非负半轴
终边在轴非正半轴
终边在轴
终边在坐标轴

2. 弧度制

（1）弧度的概念

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

在半径为

r

的圆中，弧长为

l

的弧所对的圆心角为

α r a d

，那么

∣ α ∣ = \frac{l}{r}

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

（2）弧度与角度的换算

{α ∣ k \cdot 36 0^{\circ} < α < 9 0^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}, k \in Z}

（3）关于扇形的几个公式

设扇形的圆心角为

α

（

r a d

），半径为

R

，弧长为

l

，则有

①

l = α R

； ②

S = \frac{1}{2} α R^{2}

； ③

S = \frac{1}{2} l R

5.2 三角函数的概念

1. 三角函数的概念

（1）三角函数的定义

一般地，任意给定一个角

，它的终边

与单位圆相交于点

P (x, y)

把点

P

的纵坐标

y

叫做

α

的正弦函数，记作

s in α

，即

y = s in α

；

把点

P

的横坐标

x

叫做

α

的余弦函数，记作

cos α

，即

x = cos α

；

把点

P

的纵坐标与横坐标的比值

\frac{y}{x}

叫做

α

的正切函数，记作

t an α

，即

\frac{y}{x} = t an α

（

x \neq = 0

）.

正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数

y = s in α

，

x \in R

；

余弦函数

，

；

正切函数

y = t an α

，

x \neq = \frac{π}{2} + k π

（

k \in Z

）.

设

α

是一个任意角，它的终边上任意一点

P

（不与原点

重合）的坐标为

(x, y)

，点

P

与原点的距离为

r = x^{2} + y^{2}

可以证明：

s in α = \frac{y}{r}

；

cos α = \frac{x}{r}

；

t an α = \frac{y}{x}

（2）几个特殊角的三角函数值

0

，

\frac{π}{2}

，

π

，

\frac{3 π}{2}

的三角函数值如下表所示：

函数


	不存在	不存在

（3）三角函数值的符号

{α ∣9 0^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}, k \in Z}

（4）诱导公式（一）

终边相同的角的同一三角函数值相等.

s in (α + k \cdot 2 π) = s in α

，

cos (α + k \cdot 2 π) = cos α

，

t an (α + k \cdot 2 π) = t an α

，

其中

k \in Z

2. 同角三角函数间的基本关系

（1）平方关系

s i n^{2} α + co s^{2} α = 1

（2）商数关系

t an α = \frac{s in α}{cos α}

作用：

（1）已知

α

的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；

（2）化简三角函数式；

（3）证明三角函数恒等式.

5.3 诱导公式

1. 公式二

s in (π + α) = - s in α

，

cos (π + α) = - cos α

，

t an (π + α) = t an α

2. 公式三

s in (- α) = - s in α

，

cos (- α) = cos α

，

t an (- α) = - t an α

3. 公式四

s in (π - α) = s in α

，

cos (π - α) = - cos α

，

t an (π - α) = - t an α

小结：

（1）

α + k \cdot 2 π

（

k \in Z

），

π + α

，

- α

，

π - α

的三角函数，等于

α

的同名函数，前面加上把

α

看成锐角时原三角函数值的符号.

（2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：

{α ∣18 0^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ} < α < 27 0^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}, k \in Z}

4. 公式五

s in (\frac{π}{2} - α) = cos α

，

cos (\frac{π}{2} - α) = s in α

5. 公式六

s in (\frac{π}{2} + α) = cos α

，

cos (\frac{π}{2} + α) = - s in α

小结：

\frac{π}{2} - α

，

\frac{π}{2} + α

的正弦（余弦），等于

α

的余弦（正弦），前面加上把

α

看成锐角时原三角函数值的符号.

5.4 三角函数的图象与性质

1.正弦函数、余弦函数的图象

（1）正弦函数

y = s in x

的图象.

①画点

T (x_{0}, s in x_{0})

在直角坐标系中画出以原点

O

为圆心的单位圆，

⊙ O

与

x

轴正半轴的交点为

A (1, 0)

.在单位圆上，将点

A

绕着点

O

旋转

x_{0}

弧度至点

B

，根据正弦函数的定义，点

B

的纵坐标

y_{0} = s in x_{0}

.由此，以

x_{0}

为横坐标，

y_{0}

为纵坐标画点，即得到函数图象上的点

T (x_{0}, s in x_{0})

{α ∣27 0^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ} < α < 36 0^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}, k \in Z}

② 画

y = s in x

（

x \in [0, 2 π]

）的图象

把

x

轴上从

0

到

2 π

这一段分成

12

等份，使

x_{0}

的值分别为

0

，

\frac{π}{6}

，

\frac{π}{3}

，

\frac{π}{2}

，…，

2 π

，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周

12

等份，再按上述画点

T (x_{0}, s in x_{0})

的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点.然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得

y = s in x

（

x \in [0, 2 π]

）的图象.

③

y = s in x

（

x \in R

）的图象

由诱导公式一可知，函数

y = s in x

，

x \in [2 k π, 2 (k + 1) π)

，

k \in Z

且

k \neq = 0

的图象，与函数

y = s in x

，

x \in [0, 2 π)

的图象形状完全一样.因此将函数

y = s in x

，

x \in [0, 2 π)

的图象不断向左、向右平行移动（每次

2 π

个单位长度），就可以得到正弦函数

y = s in x

，

x \in R

的图象（如下图）.

正弦函数的图象叫做正弦曲线.

④五点作图法

在函数

y = s in x

，

x \in [0, 2 π]

的图象上，有以下五个关键点：

(0, 0)

，

(\frac{π}{2}, 1)

，

(π, 0)

，

(\frac{3 π}{2}, - 1)

，

(2 π, 0)

画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图.这种作图的方法称为”五点作图法”.

（2）余弦函数的图象

因为

y = cos x = s in (x + \frac{π}{2})

，所以可将正弦函数

y = s in x

，

x \in R

的图象向左平移

\frac{π}{2}

个单位长度即得余弦函数

y = cos x

，

x \in R

的图象.

余弦函数

y = cos x

，

x \in R

的图象叫做余弦曲线.

余弦函数

y = cos x

，

x \in [- π, π]

的图象上五个关键点是：

(- π, - 1)

，

(- \frac{π}{2}, 0)

，

(0, 1)

，

(\frac{π}{2}, 0)

，

(π, - 1)

2. 正弦函数、余弦函数的性质

（1）周期性

一般地，对于函数

f (x)

，如果存在一个非零常数

T

，使得当

x

取定义域内的每一个值时，都有

f (x + T) = f (x)

，

那么函数

f (x)

就叫做周期函数.非零常数

T

叫做这个函数的周期.

如果在周期函数

f (x)

的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做

f (x)

的最小正周期.

正弦函数是周期函数，

2 k π

（

k \in Z

且

k \neq = 0

）都是它的周期，最小正周期是

2 π

余弦函数也是周期函数，

2 k π

（

k \in Z

且

k \neq = 0

）都是它的周期，最小正周期是

2 π

（2）奇偶性

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.

（3）单调性

正弦函数

y = s in x

，

x \in R

在每一个闭区间

[- \frac{π}{2} + 2 k π ， \frac{π}{2} + 2 k π]

（

k \in Z

）上都单调递增，其值从

- 1

增大到

1

；在每一个闭区间

[\frac{π}{2} + 2 k π ， \frac{3 π}{2} + 2 k π]

（

k \in Z

）上都单调递减，其值从

1

减小到

- 1

余弦函数

y = cos x

，

x \in R

在每一个闭区间

[- π + 2 k π, 2 k π]

（

k \in Z

）上都单调递增，其值从

- 1

增大到

1

；在每一个闭区间

[2 k π, π + 2 k π]

（

k \in Z

）上都单调递减，其值从

1

减小到

- 1

（4）最大值与最小值

正弦函数当且仅当

x = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k \in Z

）时取得最大值

1

，当且仅当

x = \frac{3 π}{2} + 2 k π

（

k \in Z

）时取得最小值

- 1

余弦函数当且仅当

x = 2 k π

（

k \in Z

）时取得最大值

1

，当且仅当

x = π + 2 k π

（

k \in Z

）时取得最小值

- 1

3.正切函数的图象

正切函数的图象叫做正切曲线.

4.正切函数的性质

（1）定义域

正切函数的定义域为

{x ∣ x \neq = ∣ \frac{π}{2} + k π, k \in Z}

（2）周期性

正切函数是周期函数，最小正周期是

π

（3）奇偶性

正切函数是奇函数.

（4）单调性

正切函数在每一个开区间

(- \frac{π}{2} + k π, \frac{π}{2} + k π)

（

k \in Z

）上都单调递增.

（5）值域

正切函数的值域是实数集

R

5.5 三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（1）和角公式

s in (α + β) = s in α cos β + cos α s in β

（

S_{(α + β)}

），

cos (α + β) = cos α cos β - s in α s in β

（

C_{(α + β)}

），

t an (α + β) = \frac{t an α + t an β}{1 - t an α t an β}

（

T_{(α + β)}

）.

（2）差角公式

s in (α - β) = s in α cos β - cos α s in β

（

S_{_{(α - β)}}

），

cos (α - β) = cos α cos β + s in α s in β

（

C_{_{(α - β)}}

），

t an (α - β) = \frac{t an α - t an β}{1 + t an α t an β}

（

T_{(α - β)}

）.

2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式

s in 2 α = 2 s in α cos α

（

S_{2 α}

），

= 2 co s^{2} α - 1

（

C_{2 α}

），

t an 2 α = \frac{2 t an α}{1 - t a n ^{2} α}

（

T_{2 α}

）

3. 降幂公式

s i n^{2} α = \frac{1 - cos 2 α}{2}

，

co s^{2} α = \frac{1 + cos 2 α}{2}

，

s in α cos α = \frac{1}{2} s in 2 α

4. 半角公式

s in \frac{α}{2} = \pm \frac{1 - cos α}{2}

，

cos \frac{α}{2} = \pm \frac{1 + cos α}{2}

，

t an \frac{α}{2} = \pm \frac{1 - cos α}{1 + cos α}

其中，符号由

\frac{α}{2}

所在象限决定.

5. 辅助角公式

a s in x + b cos x = a^{2} + b^{2} s in (x + ϕ)

，

其中

cos ϕ = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}

，

s in ϕ = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}

ϕ

叫做辅助角，

ϕ

的终边过点

P (a, b)

5.6 函数

y = A s in (ω x + ϕ)

（

A > 0

，

ω > 0

）的图象

（1）变换法作

y = A s in (ω x + ϕ)

（

A > 0

，

ω > 0

）的图象

y = A s in (ω x + ϕ)

（

A > 0

，

ω > 0

）的图象，可以用下面的方法得到：

①画出函数

y = s in x

的图象；

②把

y = s in x

的图象向左（

ϕ > 0

）或向右（

ϕ < 0

）平移

∣ ϕ ∣

个单位长度，得到函数

y = s in (x + ϕ)

的图象；

③把

y = s in (x + ϕ)

图象上各点的横坐标变为原来的

\frac{1}{ω}

倍（纵坐标不变），得到函数

y = s in (ω x + ϕ)

的图象；

④把

y = s in (ω x + ϕ)

图象上各点的纵坐标变为原来的

A

倍（横坐标不变），得到函数

y = A s in (ω x + ϕ)

的图象.

（2）“五点作图法”作

y = A s in (ω x + ϕ)

（

A > 0

，

ω > 0

）的图象

例题：用“五点作图法”画函数

y = 2 s in (3 x - \frac{π}{6})

在一个周期内的图象.

解：令

X = 3 x - \frac{π}{6}

，则

x = \frac{1}{3} (X + \frac{π}{6})

①列表：

②描点：

(\frac{π}{18}, 0)

，

(\frac{2 π}{9}, 2)

，

(\frac{7 π}{18}, 0)

，

(\frac{5 π}{9}, - 2)

，

(\frac{13 π}{18}, 0)

③连线：用光滑的曲线把上面的五个点连接起来，即得函数

y = 2 s in (3 x - \frac{π}{6})

在一个周期内的简图.

y = A s in (ω x + ϕ)

（

A > 0

，

ω > 0

）的性质

（1）周期性

y = A s in (ω x + ϕ)

是周期函数，最小正周期为

T = \frac{2 π}{ω}

（2）奇偶性

当

ϕ = k π

（

k \in Z

）时，

y = A s in (ω x + ϕ)

是奇函数；当

ϕ = \frac{π}{2} + k π

（

k \in Z

）时

y = A s in (ω x + ϕ)

是偶函数；当

ϕ \neq = k π

（

k \in Z

）且

ϕ \neq = \frac{π}{2} + k π

（

k \in Z

）时，

y = A s in (ω x + ϕ)

既不是奇函数也不是偶函数.

（3）单调性

在每一个区间

[\frac{- \frac{π}{2} - ϕ + 2 k π}{ω} ， \frac{\frac{π}{2} - ϕ + 2 k π}{ω}]

（

k \in Z

）上都单调递增；在每一个区间

[\frac{\frac{π}{2} - ϕ + 2 k π}{ω} ， \frac{\frac{3 π}{2} - ϕ + 2 k π}{ω}]

（

k \in Z

）上都单调递减.

（4）最大值与最小值

当

x = \frac{\frac{π}{2} - ϕ + 2 k π}{ω}

（

k \in Z

）时取得最大值

A

；当

x = \frac{\frac{3 π}{2} - ϕ + 2 k π}{ω}

（

k \in Z

）时取得最小值

- A

（5）对称轴

x = \frac{\frac{π}{2} - ϕ + k π}{ω}

（

k \in Z

）.

（6）对称中心

(\frac{k π - ϕ}{ω}, 0)

（

k \in Z

）.

5.7 三角函数的应用

在物理中，

y = A s in (ω x + ϕ)

（

A > 0

，

ω > 0

，

x \in [0, + \infty)

）可以表示一个简谐运动.

A

是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；

T = \frac{2 π}{ω}

是这个简谐运动的周期，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间；

f = \frac{1}{T} = \frac{ω}{2 π}

是这个简谐运动的频率，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；

ω x + ϕ

称为相位；

x = 0

时的相位

ϕ

称为初相.

第五章 三角函数

5.1 任意角和弧度制

1.任意角

2. 弧度制

5.2 三角函数的概念

1. 三角函数的概念

2. 同角三角函数间的基本关系

5.3 诱导公式

1. 公式二

2. 公式三

3. 公式四

4. 公式五

5. 公式六

5.4 三角函数的图象与性质

1.正弦函数、余弦函数的图象

2. 正弦函数、余弦函数的性质

3.正切函数的图象

4.正切函数的性质

5.5 三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3. 降幂公式

4. 半角公式

5. 辅助角公式

5.6 函数

5.7 三角函数的应用

第五章三角函数