必修二

第六章平面向量

本章知识要点

设

为

所在平面上一点，角

所对边长分别为

，则

（1）

为

的外心

（2）

为

的重心

（3）

为

的垂心

（4）

为

的内心

6.1 平面向量的概念

1、向量的定义及表示（向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移）

（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量.

（2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；

②向量的表示：

2、向量的有关概念

相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量

向量名称	定义
零向量	长度为0的向量，记作0
单位向量	长度等于1个单位长度的向量
平行向量（共线向量）	方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量平行
相等向量	长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b

6.2 平面向量的运算

1、向量的加法

（1）定义：求两个向量和的运算.

（2）运算法则：

向量求和的法则	图示	几何意义
三角形法则使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点		已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
平行四边形法则		以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量（OC是▱OACB的对角线）就是向量a与b的和

（3）规定：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.

（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.

（5）一般地我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立.

（6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同

2、向量的减法

（1）相反向量（利用相反向量的定义，－

\overset{ˉ}{A B}

＝

\overset{ˉ}{B A}

就可以把减法转化为加法）

定义：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量

性质：①对于相反向量有：a＋（－a）＝0；②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0；③零向量的相反向量仍是零向量

（2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算）

定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法.

a－b＝a＋（－b），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.

几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.

3、向量的数乘运算（实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算）

（1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反.

③由①可知，当λ＝0时，λa＝0；由①②知，（－1）a＝－a.

（2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；③λ（a＋b）＝λa＋λb；

特别地，有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb.

（3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向

量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a±μ2b）＝λμ1 a±λμ2 b.

（4）共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.

4、向量的数量积

（1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为

（2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量

\overset{ˉ}{O A}

＝a，

\overset{ˉ}{O B}

＝b，则∠aOb＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角.

当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.

如果a与b的夹角是

\frac{π}{2}

，我们说a与b垂直，记作a⊥b.

（3）向量的数量积及其几何意义：向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0

（4）向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.

（5）投影：如图，设a，b是两个非零向量，

＝a，

＝b，我们考虑如下变换：过

的起点a和终点b，分别作

所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到

，我们称上述变换为向量a向向量b投影，

叫做向量a在向量b上的投影向量.

（6）向量数量积的性质

设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则

①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b⇔a·b＝0③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝

a \cdot a

.在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a·b|≤|a|·|b|.

（7）运算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c

（8）运算性质：类比多项式的乘法公式

6.3 平面向量基本定理及坐标表示

1、平面向量基本定理（定理中要特别注意向量e 1与向量e 2是两个不共线的向量）

条件：e 1，e2是同一平面内的两个不共线向量

结论：对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1 e 1＋λ2 e 2

基底：不共线的向量e 1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

2、平面向量的坐标表示

（1）基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.

（2）坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对（x，y）叫做向量a的坐标.

（3）坐标表示：a＝（x，y）.

（4）特殊向量的坐标：i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）.

（5）平面向量的加减法坐标运算（可类比实数的加减运算法则进行记忆）

设向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），λ∈R，则有下表：

	文字描述	符号表示
加法	两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和	a＋b＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2）
减法	两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差	a－b＝（x 1－x 2，y 1－y 2）
重要结论	一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标	已知A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则＝（x 2－x 1，y 2－y 1）

（6）平面向量数乘运算的坐标表示

设向量a＝（x，y），则有λa＝（λx，λy），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

（7）平面向量共线的坐标表示：设a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），其中b≠0.向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0.

（8）中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段P 1P 2的中点P的坐标为（x，y），则

x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2} y = \frac{y _{1} + y _{2}}{2}

.此公式为线段P 1 P 2的中点坐标公式.

（9）两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示

已知两个非零向量，向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ.

数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x 1 x 2＋y 1 y 2

向量垂直：a⊥b⇔x 1 x 2＋y 1 y 2＝0

（10）与向量的模、夹角相关的三个重要公式

①向量的模：设a＝（x，y），则|a|＝

x^{2} + y^{2}

②两点间的距离公式：若A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则|

\overset{ˉ}{A B}

|＝

（ x_{1} － x_{2} ）^{2} ＋（ y_{1} － y_{2} ）^{2}

③向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ，则

θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣} = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{x _{1}^{2} ＋ y _{1}^{2} x _{2}^{2} ＋ y _{2}^{2}}

6.4 平面向量的应用

1、平面几何中的向量方法

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.

2、向量在物理中的应用举例

（1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上.

（2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算.

（3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ为F和s的夹角）.动量mν实际上是数乘向量.

3、余弦定理、正弦定理

（1）余弦定理的表示及其推论（SAS、SSS、SSA）

文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

符号语言：

；

在△ABC中，有

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b ccos A

，推论：

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

（2）解三角形：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

（3）正弦定理的表示（AAS、SSA）

文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径.

符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则

\frac{a}{s in A} = \frac{b}{s in B} = \frac{c}{s in C} = 2 R

（R为△ABC的外接圆的半径）

（4）正弦定理的变形形式变形形式是在三角形中实现边角互化的重要公式

设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：

①

a = 2 R s in A

，

b = 2 R s in B

，

c = 2 R s in C

；②

s in A = \frac{a}{2 R}

，

s in B = \frac{b}{2 R}

，

s in C = \frac{c}{2 R}

；③

a : b : c = s in A : s in B : s in C

；

（5）三角形面积公式：

S_{Δ AB C} = \frac{1}{2} b cs in A = \frac{1}{2} ab s in C = \frac{1}{2} a cs in B

．

（6）相关术语

①仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示.

②方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图1所示）.

③方位角的其他表示——方向角

正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.

东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线（如图2所示）.

（7）解三角形应用题

解题思路：

基本步骤：

运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：

①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；

②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.

③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.

④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.

第六章 平面向量