必修二

第七章复数

7.1 复数的概念

1、数系的扩充和复数的概念

（1）复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝ $a ＋ bi ∣ a ， b \in R$ 叫做复数集.

（2）复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.

（3）复数相等：在复数集C＝ $a ＋ bi ∣ a ， b \in R$ 中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.

（4）复数的分类

①对于复数a＋bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下：

复数 {实数（ b ＝ 0 ） 虚数（ b \neq = 0 ）（当 a ＝ 0 时为纯虚数）}

，

②集合表示：

2、复数的几何意义

（1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部）

（2）复数的几何意义

①复数z＝a＋bi（a，b∈R）

一一对应

复平面内的点z（a，b）.

②复数z＝a＋bi（a，b∈R）

一一对应

平面向量

\overset{ˉ}{O Z}

（3）复平面上的两点间的距离公式：

（

，

）.

（4）复数的模

①定义：向量

\overset{ˉ}{O Z}

的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值.

②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.

③公式：|z|＝|a＋bi|＝

a^{2} + b^{2}

（a，b∈R）.

如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）.

（5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用

\overset{z}{ˉ}

表示，即如果z＝a＋bi，那么

\overset{z}{ˉ}

＝a－bi.

（6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

（7）解复数方程

若

，在复数集

内有且仅有两个共轭复数根

7.2 复数的四则运算

1、复数的加、减运算及其几何意义

（1）复数的加法法则

①运算法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数.

②复数加法的几何意义：如图，复数z 1＋z 2是以

\overset{ˉ}{O Z_{1}}

，

\overset{ˉ}{O Z_{2}}

为邻边的平行四边形的对角线

\overset{ˉ}{O Z}

所对应的复数.

③加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈c，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）.

④复数加法的几何意义：两个向量

\overset{ˉ}{O Z_{1}}

与

\overset{ˉ}{O Z_{2}}

的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行.

（2）复数的减法法则

①运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数.

②复数减法的几何意义：如图，复数z 1－z 2是从向量

\overset{ˉ}{O Z_{2}}

的终点指向向量

\overset{ˉ}{O Z_{1}}

的终点的向量

\overset{ˉ}{Z_{1} Z_{2}}

所对应的复数.

2、复数的乘、除运算

（1）复数的乘法运算

①复数的乘法法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z 1·z 2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.

②复数乘法的运算律

对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有

交换律	z 1·z 2＝z 2·z 1
乘法对加法的分配律	z 1（z 2＋z 3）＝z 1 z 2＋z 1 z 3
结合律	（z 1·z 2）·z 3＝z 1·（z 2·z 3）

（2）复数的除法运算

设z 1＝a＋bi，,z 2＝c＋di（c＋di≠0）），则

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{a ＋ bi}{c ＋ d i} = \frac{（ a ＋ bi ）（ c - d i ）}{（ c ＋ d i ）（ c - d i ）} = \frac{a c + b d}{c ^{2} + d ^{2}} + \frac{b c - a d}{c ^{2} + d ^{2}} i

复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.

3、几个重要的结论

①

∣ z_{1} + z_{2} ∣^{2} + ∣ z_{1} - z_{2} ∣^{2} = 2 (∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2})

②

z • \overline{z} = ∣ z ∣^{2} = ∣ \overline{z} ∣^{2}

③若

z

为虚数，则

∣ z ∣^{2} \neq = z^{2}

4、运算律

①

z^{m} • z^{n} = z^{m + n}

②

(z^{m})^{n} = z^{mn}

③

(z_{1} • z_{2})^{n} = z_{1}^{n} • z_{2}^{n} (m, n \in R)

5、关于虚数单位i的一些固定结论

①

i^{2} = - 1

②

i^{3} = - i

③

i^{4} = 1

④

i^{n} + i^{n + 2} + i^{n + 3} + i^{n + 4} = 0

7.3 复数的三角表示

1、复数的三角表示式

（1）复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量

\overset{ˉ}{O Z}

所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.

（2）辐角主值：规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.

2、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

（1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.

r 1(cosθ1＋isinθ1)·r 2(cosθ2＋isinθ2)＝r 1 r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].

（2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

\frac{r _{1} （ cos θ _{1} ＋ i s in θ _{1} ）}{r _{2} （ cos θ _{2} ＋ i s in θ _{2} ）} = \frac{r _{1}}{r _{2}} [cos (θ_{1} － θ_{2}) ＋ i s in (θ_{1} － θ_{2})]

第七章 复数