第八章 立体几何初步

（1）空间几何体（我们研究空间几何体就是研究其形状和大小）

空间几何体：在我们周围存在着各种各样的物体， 它们都占据着空间的一部分.如果只考虑这些物体的形状和大小， 而不考虑其他因素， 那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体

多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面； 两个面的公共边叫做多面体的棱； 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点

旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面， 封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体， 这条定直线叫做旋转体的轴

（2）多面体

（3）圆柱、 圆锥、 圆台、 球

（4）棱柱和圆柱统称为柱体，棱锥和圆锥统称为锥体，棱台和圆台统称为台体.

（5）简单组合体（“接”和“截”简单几何体就可得到组合体）

①定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.

②简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的.

1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

①平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；②平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变

（1）棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

（1）含义：平面是无限延展的

（2）平面的画法及表示

①平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的2倍长（如图）

②平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

（1）基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。

基本事实1作用：确定一个平面的依据。

（2）基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

符号表示为：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α=>l⊂α

基本事实2作用：判断直线是否在平面内

（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=l，且P∈l

基本事实3作用：判定两个平面是否相交的依据

（1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

符号表示为：A∉l=>存在唯一的α，使A∈α，l⊂α

（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面

符号表示为：l∩m=A=>存在唯一的α，使l⊂α，m⊂α

（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面

符号表示为：l∥m=>存在唯一的α，使l⊂α，m⊂α

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a⊄α来表示

a⊂α                                  a∩α=A               a∥α

平面与平面有三种位置关系：

（1）两个平面平行——没有公共点

（2）两个平面相交——无数个公共点（在同一直线上）

α//β                                         α∩β=a

（1）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：a∥b，c∥b=>a∥c

强调：基本事实4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

基本事实4作用：判断空间两条直线平行的依据。

（2）空间四边形：顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形。

（3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

符号表示为：OA∥O’A’，OB∥O’B’且同向=>∠AOB=∠A’O’B’

等角定理作用：判定与证明两个角相等。

（1）直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a⊄α，b⊂β，a∥b=>a∥α

（2）直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a∥α，a⊂β，α∩β=b=>a∥b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

（1）两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

简记为：线面平行则面面平行。符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α=>β∥α

证明方法：反证法

（2）两个平面平行的判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。

符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a’⊂α，b’⊂α，a’∩b’=P’，a∥α，b∥α=>β∥α

（3）平面与平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

简记为：面面平行则线线平行。符号表示：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b=>a∥b

（4）两平面平行的相关性质

①若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行（β∥α，a⊂α=>a∥β）

②夹在两个平行平面间的两条平行线段相等

③平行平面具有传递性及平行于同一平面的两个平面平行（β∥α，β∥γ=>α∥γ）

④两条直线被三个平行平面所截截得的对应线段成比例

（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

②当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

③两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。

符号表示：任意a⊂α，都有l⊥a=>l⊥α

（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b=>β∥α

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角。当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角。当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该平面成0°角。

（2）范围：斜线与平面所成的角θ的范围是0≤θ≤90°

（3）求法：作出斜线在平面上的射影；

（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。

（1）直线与平面垂直的性质定理1：垂直于平面的直线与平面内任意一条直线垂直。

简记为：线面垂直则线线垂直。符号表示：l⊥α，b⊂α=>l⊥b

（2）直线与平面垂直的性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行。

简记为：线面垂直则线线平行。作用：作平行线。符号表示：a⊥α，b⊥α=>a//b

（1）点面距：过一点做垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离

点面距AO范围：AO≥0

（2）线面距：一条直线与一个平面平行直线条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离

当直线l与平面α相交或l⊂α时，直线l到平面α的距离为O

（3）面面距：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等我们把它叫做这两个平行平面间的距离

当平面β与平面α相交时，平面β到平面α的距离为O

（1）二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

二面角的记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.

（2）平面与平面垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。符号表示：α⊥β

（3）两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

简记为：线面垂直则面面垂直。符号表示：AB⊥β，AB⊂α=>α⊥β

（4）平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，则这条直线与另一个平面垂直。

简记为：面面垂直则线面垂直。作用：作平面的垂线。符号表示：α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l=>α⊥β