必修二

第九章统计

9.1 随机抽样

1、在统计学里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，把总体中个体的总数叫做总体容量．总体中的每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本．其中个体的个数称为样本容量．

2、简单随机抽样

也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。

3、简单随机抽样常用的方法

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。

（1）抽签法的一般步骤：将总体的个体编号；连续抽签获取样本号码．

适用于：总体中个体数相对较少

特点：每个样本单位被抽中的可能性相同（等可能性）；总体中个体数有限（有限性）；从主体中逐个抽取（逐一性）

（2）随机数表法的步骤：将总体的个体编号；在随机数表中选择开始数字；读数获取样本号码．

适用于：总体中个体数相对较多

4、总体平均数与样本平均数

（1）总体平均数（总体均值）：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，···，YN，则称

（2）加权平均数：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，···，Yk，其中Yi出现的频数fi（i=1，2，···，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式

（3）样本平均数（样本均值）：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，他们的变量值分别为y1，y2，···，yn，则称

5、分层抽样

（1）分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。

（2）分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。

分层标准：①调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量②保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量③有明显分层区分的变量

（3）分层的比例问题：①按比例分层抽样②不按比例分层抽样

（4）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用X 1，X 2，···，X M表示第1层各个个体的变量值，用X 1，X 2，···，Xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y 2，···，Y N表示第2层各个个体的变量值，用y 1，y 2，···，y n表示第2层样本的各个个体的变量值，则：

第1层的总体平均数和样本平均数分别为

第2层的总体平均数和样本平均数分别为

总体平均数和样本平均数分别为

在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数

估计总体平均数

，即

6、获取数据的基本途径

获取数据的基本途径	适用类型	注意问题
通过调查获取数据	对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据	要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效地避免抽样过程中的人为错误
通过试验获取数据	没有现存的数据可以查询	严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量
通过观察获取数据	自然现象	借助专业测量设备通过长久的持续观察获取数据
通过查询获得数据	众多专家研究过，其收集的数据有所存储	必须根据问题背景知识“清洗”数据去伪存真

9.2 用样本估计总体

1、画频率分布直方图的步骤（画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，而不是频率）

（1）求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差.

（2）决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.

（3）将数据分组.

（4）列频率分布表：一般分四列，即分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.

（5）画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示

.小长方形的面积＝组距×

＝频率.各小长方形的面积和等于1.）

2、其他统计图表

扇形图	直观描述各类数据占总数的比例
条形图和直方图	直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
折线图	描述数据随时间的变化趋势

3、第p百分位数

（1）定义：（第50百分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例，百分位数是中位数的推广）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值.

（2）计算一组n个数据的第p百分位数的步骤

第1步，按从小到大排列原始数据

第2步，计算i＝n×p%

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数

（3）四分位数：25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数

4、总体集中趋势的估计

（1）众数、中位数和平均数的定义

①众数：一组数据中出现次数最多的数

②中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数

③平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数

（2）众数、中位数和平均数的比较

名称	优点	缺点
众数	体现了样本数据的最大集中点	众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感
中位数	不受少数几个极端数据（即排序靠前或靠后的数据）的影响	对极端值不敏感
平均数	与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感	任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均数的影响越大