第十章 概率

（1）随机试验

①对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示

②研究具有以下特点的随机试验：

试验可以在相同条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果

（2）样本空间

把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间

（3）随机事件、必然事件、不可能事件

①一般地，随机试验中每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，把样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为样本点，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生

②Ω作为自身的子集，包含了所有样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件

③空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称为不可能事件

（1）事件的关系（对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件）

（2）事件的运算

（3）事件关系或运算的含义

（1）概率：对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率.事件A的概率用P（A）表示

（2）古典概型：（有限性与等可能性是判断古典概型的两个重要依据）

定义：一般地，若试验E有如下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个②可能性：每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型

（3）计算公式

应用公式的关键是分清样本空间中样本点的个数及事件A中包含的样本点的个数

性质1：对任意的事件A，都有P（A）≥0

性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝1，P（∅）＝0

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A），P（A）＝1－P（B）

性质5：如果A⊆B，那么P（A）≤P（B）

性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）

对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.

1、频率的稳定性（频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值）

大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f n（A）会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A），我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率f n（A）估计概率P（A）.

（1）随机数的产生

应用计算器或计算机产生随机数时要特别注意遵照随机数产生的方法进行，切不可随意改变其步骤顺序和操作程序，否则会出现错误.

①标号：把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n②搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌③摸取：从中摸出一个.

这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数.

（2）伪随机数的产生

①规则：依照确定的算法.②特点：具有周期性（周期很长）③性质：它们具有类似随机数的性质.

计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数.

（3）产生随机数的常用方法：①用计算器产生；②用计算机产生；③抽签法.

（4）随机模拟方法（蒙特卡洛方法）：利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法