选择性必修一

第三章圆锥曲线方程

一、椭圆方程

1、椭圆方程的第一定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于定长（定长通常等于2a，且2a>F1F2）的点的轨迹叫椭圆。

（1）①椭圆的标准方程：中心在原点，焦点在x轴上：

中心在原点，焦点在

轴上：

注：以上方程中

a, b

的大小

a > b > 0

，其中

b^{2} = a^{2} - c^{2}

；

在

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

和

\frac{y ^{2}}{a ^{2}} + \frac{x ^{2}}{b ^{2}} = 1

两个方程中都有

a > b > 0

的条件，要分清焦点的位置，只要看

x^{2}

和

y^{2}

的分母的大小。

②一般方程：

③椭圆的标准方程：

的参数方程为

（一象限

应是属于

）.

（2）椭圆的性质

①顶点：

或

②轴：对称轴：x轴，

轴；长轴长

，短轴长

③焦点：

或

④焦距：

⑤准线：

或

⑥离心率：

【∵

a > c > 0

，∴

0 < e < 1

，且

e

越接近

1

，

c

就越接近

a

，从而

b

就越小，对应的椭圆越扁；反之，

e

越接近于

0

，

c

就越接近于

0

，从而

b

越接近于

a

，这时椭圆越接近于圆。当且仅当

a = b

时，

c = 0

，两焦点重合，图形变为圆，方程为

x^{2} + y^{2} = a^{2}

。】

⑦焦（点）半径：

设

为椭圆

上的一点，

为左、右焦点，则

设

为椭圆

上的一点，

为上、下焦点，则

由椭圆第二定义可知：

归结起来为“左加右减”.

注意：椭圆参数方程的推导：得

方程的轨迹为椭圆.

⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通径.坐标：

和

⑨焦点三角形的面积：若P是椭圆：

上的点.

为焦点，若

，则

的面积为

（用余弦定理与

可得）。若是双曲线，则面积为

。

（3）共离心率的椭圆系的方程：椭圆

的离心率是

，方程

是大于0的参数，

的离心率也是

我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

2、椭圆的第二定义：平面内到定点F的距离和它到一条定直线L（F不在L上）的距离的比为常数e（

0 < e < 1

）的点的轨迹叫做椭圆。其中定点F为椭圆的焦点，定直线L为椭圆焦点F相应的准线。

二、双曲线方程

1、双曲线的第一定义:平面内到到两个定点F1，F2的差的绝对值等于定长（定长通常等于2a，且2a<F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。（

∣∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣∣ = 2 a

）。

（1）①双曲线标准方程：

一般方程：

（2）①焦点在x轴上：

顶点：

焦点：

准线方程

渐近线方程：

或

焦点在

轴上：

顶点：

. 焦点：

. 准线方程：

. 渐近线方程：

或

，参数方程：

或

②轴

为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.

③离心率

. ④准线距

（两准线的距离）；通径

⑤参数关系

. ⑥焦（点）半径公式：对于双曲线方程

（

分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

构成满足

（3）等轴双曲线：双曲线

称为等轴双曲线，其渐近线方程为

，离心率

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：

a = b

；

等轴双曲线的性质：①渐近线方程为：

；②渐近线互相垂直。

注意到等轴双曲线的特征

a = b

，则等轴双曲线可以设为：

，当

时交点在

x

轴，当

时焦点在

y

轴上。

（4）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.

与

互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：

（5）共渐近线的双曲线系方程：

的渐近线方程为

如果双曲线的渐近线为

时，它的双曲线方程可设为

例如：若双曲线一条渐近线为

且过

，求双曲线的方程？

解：令双曲线的方程为：

，代入

得

2、双曲线的第二定义

平面内到定点F的距离和它到一条定直线L（F不在L上）的距离的比为常数e（e>1）的点的轨迹叫做双曲线。其中定点F为双曲线的焦点，定直线L为双曲线焦点F相应的准线。

三、抛物线方程

（1）抛物线的概念：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程

叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（

,0），它的准线方程是

；

（2）抛物线的性质

设

，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：


图形
焦点
准线方程
范围
对称轴	轴	轴	轴	轴
顶点	（0，0）	（0，0）	（0，0）	（0，0）
离心率
焦半径
通径	2p	2p	2p	2p
焦点弦	x1+x2+p	x1+x2+p	y1+y2+p	y1+y2+p

注：①通径（过焦点且垂直于坐标轴的线段）为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

②

（或

）的参数方程为

（或

）（

为参数）.

四、圆锥曲线的统一定义

1、圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线

的距离之比为常数

的点的轨迹.

当

时，轨迹为椭圆；当

时，轨迹为抛物线；当

时，轨迹为双曲线；当

时，轨迹为圆（

，当

时）.【弦长公式

】

2、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

		椭圆	双曲线	抛物线
定义	定义	1、到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>\|F1F2\|)的点的轨迹 2、与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）	1、到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<\|F1F2\|)的点的轨迹 2、与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）	与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
轨迹条件	轨迹条件	点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a}.	点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}.	点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.
图形	图形
方程	标准方程	(>0)	(a>0,b>0)
方程	参数方程			(t为参数)
范围	范围	─a£x£a，─b£y£b	\|x\| ³ a，yÎR	x³0
中心	中心	原点O（0，0）	原点O（0，0）
顶点	顶点	(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)	(a,0), (─a,0)	(0,0)
对称轴	对称轴	x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2b	x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b.	x轴
焦点	焦点	F1(c,0), F2(─c,0)	F1(c,0), F2(─c,0)
准线	准线	x=± 准线垂直于长轴，且在椭圆外.	x=± 准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.	x=- 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.
焦距	焦距	2c （c=）	2c （c=）
离心率	离心率			e=1