选择性必修三

第六章计数原理

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、分类加法计数原理：

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方案，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

二、分布乘法计数原理：

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

（1）无论第1步采用哪种方法，都不影响第2步方法的选取。

三、区别于联系

	分类加法计数原理	分类乘法计数原理
本质	每类方法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事。	任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事。
关系	分类互斥	分步互依

6.2 排列与组合

一、排列

1.排列

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2.排列数

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不

同元素中取出m个元素的排列数，用符号 $A_{n}^{m}$ 表示。

3.排列数公式

$A_{n}^{m} = n (n - 1) (n - 2) \cdot\cdot\cdot (n - m + 1)$

其中，n，m∈N*且m≤n

4.全排列

n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列。这时公式中m=n，即有 $A_{n}^{m} = n (n - 1) (n - 2) \cdot\cdot\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

5.阶乘

n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积。正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n! 表示。所以n个不同元素的全排列数公式可以写成

$A_{n}^{m} = n!$ 规定 0!=1

6.排列数公式的阶乘表示

$A_{n}^{m} = \frac{A _{n}^{n}}{A _{n - m}^{n - m}} = \frac{n !}{( n - m )!}$

（1）公式推理： $A_{n}^{m} = n (n - 1) (n - 2) \cdot\cdot\cdot (n - m + 1)$

$= \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) \cdot\cdot\cdot ( n - m + 1 ) ( n - m ) ( n - m - 1 ) \cdot\cdot\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{( n - m ) ( n - m - 1 ) \cdot\cdot\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

$= \frac{n !}{( n - m )!} = \frac{A _{n}^{n}}{A _{n - m}^{n - m}}$

7.性质

$A_{n}^{m} = n A_{n - 1}^{m - 1}$

$A_{n}^{m} = m A_{n - 1}^{m - 1} + A_{n - 1}^{m}$

例1：求 $3 A_{8}^{x} = 4 A_{9}^{x - 1}$ 中的x.

解： $\frac{3 \cdot 8 ！}{( 8 - x ) ！} = \frac{4 \cdot 9 ！}{( 10 - x ) ！}$ 化简 $\frac{3 \cdot 8 ！}{( 8 - x ) ！} = \frac{4 \cdot 9 \cdot 8 ！}{( 10 - x ) ( 9 - x ) ( 8 - x ) ！}$

得90-19x+x2=12 ，解得x=13或x=6

又x≤8且x-1≤9，即x≤8，所以x=6.

例2：求证： $A_{n}^{m} + m A_{n}^{m - 1} = A_{n + 1}^{m}$

证明： $左边 = \frac{n ！}{( n - m ) ！} + \frac{m \cdot n ！}{( n - m + 1 ) ！}$

$= \frac{n ！ ( n - m + 1 ) + m \cdot n ！}{( n - m + 1 ) ！}$

$= \frac{n ！ ( n + 1 )}{( n - m + 1 ) ！}$

$= \frac{( n + 1 ) ！}{( n - m + 1 ) ！} = 右边$

8.拓展

有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的（不一定相邻）方法：

（1）整体法：即若m+n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这m+n个元素排成一列，有 $A_{m + n}^{m + n}$ 种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有 $A_{m}^{m}$ 种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有 $\frac{A _{m + n}^{m + n}}{A _{m}^{m}}$ 种满足条件的不同排法。

（2）插空法：即m个元素之间的先后顺序不变，因此先排列这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空当中。

例1：7人排成一列，甲必须在乙的后面（可不相邻），有 2520 种不同的排法

解： $\frac{A _{7}^{7}}{A _{2}^{2}} = 2520$

例2：用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有 210

个七位数符合条件。解： $\frac{A _{7}^{7}}{A _{4}^{4}} = 210$

二、组合

1.组合

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素

中取出m个元素的一个组合。

2.组合数

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的组合数，用符号 $C_{n}^{m}$ 表示。

3.组合数公式

$C_{n}^{m} = \frac{A _{n}^{m}}{A _{m}^{m}} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) \cdot\cdot\cdot ( n - m + 1 )}{m !}$

$= \frac{n !}{m ! ( n - m )!}$

m，n∈ $N^{*}$ ，m≤n 规定 $C_{n}^{0} = 1$

4.组合数的性质

$C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ $C_{8}^{5} = C_{8}^{3}$

$C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1}$ $C_{7}^{4} = C_{6}^{4} + C_{6}^{3}$

5.解方程注意验根

（1）当 $C_{n}^{x} = C_{n}^{y}$ 时，y=x 或x+y=n 。（n≥x，n≥y，x,y∈ $N^{*}$ ）

6.3 二项式定理

一、二项式定理

1.二项式定理

$(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b^{1} + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \cdot\cdot\cdot + C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} + \cdot\cdot\cdot + C_{n}^{n} b^{n}$

（n∈ $N^{*}$ ）

2.特点

（1）各项的次数都等于二项式的幂指数n。

（2）字母a按降幂排列，字母b按升幂排列。

（3）展开式共有n+1项，比二项式的次数多1。

3.二项式系数

$C_{n}^{k}$ ，k∈{ 0，1，2，…，n}

4.二项展开式的通项

$C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ ，

它是展开式的第k+1项，可用 $T_{k + 1}$ 表示，即 $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ .

例1：求 $（ 2 x - \frac{1}{x} ）^{6}$ 的展开式.

解： $(2 x - \frac{1}{x})^{6} = (\frac{2 x - 1}{x})^{6} = \frac{1}{x ^{3}} (2 x - 1)^{6}$

$= \frac{1}{x ^{3}} [(2 x)^{6} - C_{6}^{1} (2 x)^{5} + C_{6}^{2} (2 x)^{4} - C_{6}^{3} (2 x)^{3} + C_{6}^{4} (2 x)^{2} - C_{6}^{5} (2 x)^{1} + C_{6}^{6}]$

$= \frac{1}{x ^{3}} (64 x^{6} - 6 \cdot 32 x^{5} + 15 \cdot 16 x^{4} - 20 \cdot 8 x^{3} + 15 \cdot 4 x^{2} - 6 \cdot 2 x + 1$

$= 64 x^{3} - 192 x^{2} + 240 x - 160 + \frac{60}{x} - \frac{12}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{3}}$

例2：求 $(1 + 2 x)^{7}$ 的展开式的第4项的系数

解： $T_{3 + 1} = C_{7}^{3} 1^{4} (2 x)^{3} = 280 x^{3}$ 系数为280

例3：求 $(x - \frac{1}{x})^{9}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数.

解： $T_{n + k} = C_{9}^{k} x^{9 - k} (- \frac{1}{x})^{k} = (- 1)^{k} C_{9}^{k} x^{9 - 2 k}$

当9-2k=3时，即k=3时， $x^{3}$ 的系数为 $(- 1)^{3} C_{9}^{3} = - 84$

例4.：求 $(x - y) (x + y)^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{7}$ 的系数.

解： $(x + y)^{8}$ 的通项公式： $T_{r + 1} = C_{8}^{r} x^{8 - r} y^{r}$

$T_{8} = T_{7 + 1} = C_{8}^{7} x y^{7} = 8 x y^{7}$ ， $T_{7} = T_{6 + 1} = C_{8}^{6} x^{2} y^{6} = 28 x^{2} y^{6}$

所以含 $x^{2} y^{7}$ 的项为： $x \cdot 8 x y^{7} - y \cdot 28 x^{2} y^{6} = - 20 x^{2} y^{7}$

$x^{2} y^{7}$ 的系数为-20

5.二项式的特定项

（1）常数项：令通项中变元的指数为零。

（2）有理项：令未知量的指数为整数。

（3）中间项： ① n为偶数，中间项为第 $\frac{n}{2} + 1$ 项。

② n为奇数，中间项为第 $\frac{n + 1}{2}$ 项和 $\frac{n + 1}{2} + 1$ 项

（4）求最大项：设第k+1项系数 $T_{k + 1}$ 最大，则满足 $T_{k + 1}$ ≥ $T_{k} 且 T_{k + 1}$ ≥ $T_{k + 2}$ 。

二、二项式系数的性质

1.$(a+b)^{n}$展开式的二项系数

$(a + b)^{1}$ 1 1

$(a + b)^{2}$ 1 2 1

$(a + b)^{3}$ 1 3 3 1

$(a + b)^{4}$ 1 4 6 4 1

$(a + b)^{5}$ 1 5 10 10 5 1

$(a + b)^{6}$ 1 6 15 20 15 6 1

2.规律

（1）在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的两个二项式系数相等。

（2）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和

$C_{n + 1}^{r} = C_{n}^{r} + C_{n}^{r - 1}$ 。

3.作用

可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助它直接写出

各项的二项式系数。

rf(r)rf(r)4.对于 $(a + b)^{n}$ 展开式的二项系数 $C_{n}^{0} ， C_{n}^{1} ， C_{n}^{2} ， \cdot\cdot\cdot ， C_{n}^{n}$ ，将此看作 $C_{n}^{r}$ 是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}。

（1）对称性

（2）增减性与最大值

（3）各二项式系数的和

5.二项式系数的性质

性质	内容
对称性	$C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ ，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。
增减性与最大值	如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中一项的二项式系数最大。
增减性与最大值	如果n为奇数，那么其展开式中间两项的二项式系数相等且同时取得最大值。 $C_{n}^{\frac{n - 1}{2}} = C_{n}^{\frac{n + 1}{2}}$
二项式系数的和	二项展开式各二项式系数的和等于 $2^{n}$ ，即 $(1 + x)^{2} = 2^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \cdot\cdot\cdot + C_{n}^{n}$ 。
二项式系数的和	奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于 $2^{n - 1}$ 即 $C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5} + \cdot\cdot\cdot = C_{n}^{2} + C_{n}^{4} + C_{n}^{6} + \cdot\cdot\cdot = 2^{n - 1}$ 。

第六章 计数原理