第七章 随机变量及其分布

一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称 $P(B)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。$P(B)$读作A发生的条件下B发生的概率。

（1）性质：

①任何事件的条件概率都在0和1之间，即 0≤$P(B)$≤1

②如果B和C是两个互斥事件，则 $P(B\cup C)=P(B)+P(C)$

$P(B)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{n(AB)}{n(A)}$

$$P(AB)=P(A)\cdot P(B)=P(B)\cdot P(A)$$

一般地，设A1，A2，……，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪……∪An=$\Omega$，且P($A_i$)＞0，i=1,2，……，n，则对任意的事件$B\subseteq \Omega$，有

$$P(B)=i=1nP(A_i)P(B)$$

我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一。

设A1，A2，……，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪……∪An=$\Omega$，且P($A_i$)＞0，i=1,2，……，n，则对任意的事件$B\subseteq \Omega$，P(B)＞0有

$$P(A_i)=\frac{P(A_i)P(B)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B)}{k=1nP(A_k)P(B)}，i=1,2,\dots ，n$$

在随机实验中，确定了一个对应关系，使得每一个实验结果都能用一个确定的数字表示，在这个对应关系下，数字随着实验结果（自变量）的变化而变化。随机变量常用X，Y，ξ，η…表示。

可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量。通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z。

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，$X_i$ ，我们称X取每一个值$X_i$的概率 P(X=$X_i$)= $P_i$，i=1,2,…,n 为X的概率分布列，简称分布列。

（1）离散型随机变量X的概率分布列：（简称X的分布列）

（2）性质：①离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。② Pi ≥ 0 （i=1,2,…,n） $i=1n{P}_i=1$

（3）表示方法：①表格法（分布列） ②解析式法（ P(X=xi )=pi ） ③图像法(条形统计图)

X01P1-PPX01P1-PP（1）两点分布：若随机变量X的分布列具有右表的形式，则称

X服从两点分布，并称p=P（X=1）为成功概率。

（2）性质：

①一般地，在只有两个结果的随机试验中，用0表示事件不成功，1表示事件成功，即随机变量的取值只有0和1两个，故又称为0-1分布。

②两点分布应用广泛，如抽取的彩票是否中奖。

③试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1。

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

则称 EX= x1p1+ x2p2+…+ xipi+…xnpn 为随机变量X的均值或数学期望。

它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

①结论：E(aX+bY)=aE(X)+b E(Y)

②若随机变量X服从两点分布，则有 E(X)=p .

③若X～B(n，p)，则E(X)=np

设离散型随机变量X的分布列为

则 $(x_i-EX{)}^2$ 描述了xi (i=1，2，…，n)相对于均值EX的偏离程度。

①方差：$DX=i=1n(x_i-E(X){)}^2{p}_i$ ②标准差： $\sqrt{DX}$ （记作σX） σ（西葛马）

反映随机变量的取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；反之，越分散。

3.离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即 $D(X+b)=D(X)$

4.离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的a2倍，即 $D(aX)=a^{2}D(X)$

①D(aX+b)=$a^2$D(X)

②若X服从两点分布，则 DX=p(1-p)

③若X～B(n，p)，则 DX=np(1-p)

我们把只包含两个可能结果的实验叫做伯努利试验。

2.我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机实验成为n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：

（1）同一个伯努利试验重复做n次；

（2）各次实验的结果相互独立。

一般地，在n重伯努利试验中，设每次实验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

$$P（X=k）=C_n^k{p}^k（1-p{）}^{n-k}，k=0,1,2,\dots ，n.$$

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)

由二项式定理，容易得到

$$k=0nP(X=k)=k=0n{C}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}=[p+(1-p){]}^n=1$$

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为

$P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$ （k=m，m+1，m+2，…，r）

其中n，N，M∈$N^{\ast }$，M≤N，n≤N，m=max{ 0，n-N+M }，r=min{ n，M }

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布

2.设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数。令$p=\frac{M}{N}$ ，则p是N件产品的次品率，而 $\frac{X}{n}$ 是抽取的n件产品的次品率，我们猜想$E(\frac{X}{n})=p$，即E(X)=nP.

①超几何分布描述了由有限个物体中抽取n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数。

②抽取过程是不放回的。

$f（x）=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2\sigma {}^2}}，x\in R$ 其中实数μ∈R,σ＞0为参数。

显然，对任意的x∈R，f(x)＞0，它的图像在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称$f（x）$为正态密度函数，称它的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为 X～N (μ，$\sigma {}^2$)

特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布。

（1）正态分布完全由参数μ和σ确定

①标准正态分布：μ=0， σ=1

②参数μ的意义：μ就是随机变量X的均值。E(X)=μ

③参数σ的意义：σ就是随机变量X的标准差。D(X)= $\sigma {}^2$

（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率：

P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826

P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544

P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974

（3）性质