第五章 一元函数的导数及其应用

$\frac{△y}{△x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0+△x的平均变化率在△x→0时的极限，即 ${\lim }_{△\mathrm{x}\to 0}\lim \frac{△y}{△x}={\lim }_{△\mathrm{x}\to 0}\lim \frac{f(x_0+△x)-f(x_0)}{△x}$

函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f'(x0)或y'｜x=x0 ,即 f'(x0)=${\lim }_{△\mathrm{x}\to 0}\lim \frac{△y}{△x}={\lim }_{△\mathrm{x}\to 0}\lim \frac{f(x_0+△x)-f(x_0)}{△x}$

1.函数y=f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即

K= f'(x0)=${\lim }_{△\mathrm{x}\to 0}\lim \frac{f(x_0+△x)-f(x_0)}{△x}$

从求函数y=f(x)在x=x0处的导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数（导数）。即

f'(x)=y'=${\lim }_{△\mathrm{x}\to 0}\lim \frac{f(x_0+△x)-f(x_0)}{△x}$

（一）、几个常用函数的导数

$\frac{△y}{△x}=\frac{f(x+△x)-f(x)}{△x}=\frac{c-c}{△x}=0$ ，所以y'=${\lim }_{△\mathrm{x}\to 0}\lim \frac{△y}{△x}={\lim }_{△\mathrm{x}\to 0}\lim 0=0$

$\frac{△y}{△x}=\frac{f(x+△x)-f(x)}{△x}=\frac{x+△x-x}{△x}=1$，所以y'=${\lim }_{△\mathrm{x}\to 0}\lim \frac{△y}{△x}={\lim }_{△\mathrm{x}\to 0}\lim 1=1$

$\frac{△y}{△x}=\frac{f(x+△x)-f(x)}{△x}=\frac{(x+△x{)}^2-x^2}{△x}=\frac{x^2+2x\cdot △x+(△x{)}^2-x^2}{△x}=2x+△x$，

所以y'=${\lim }_{△\mathrm{x}\to 0}\lim \frac{△y}{△x}={\lim }_{△\mathrm{x}\to 0}\lim (2x+△x)=2x$

4.函数y=f(x)= $\frac{1}{x}$ 的导数:$\frac{△y}{△x}=\frac{f(x+△x)-f(x)}{△x}=\frac{\frac{1}{x+△x}-\frac{1}{x}}{△x}=\frac{x-(x+△x)}{x(x+△x)△x}=-\frac{1}{x^2+x\cdot △x}$ ，所以

y'=${\lim }_{△\mathrm{x}\to 0}\lim \frac{△y}{△x}={\lim }_{△\mathrm{x}\to 0}\lim (-\frac{1}{x^2+x\cdot △x})=-\frac{1}{x^2}$

$\frac{△y}{△x}=\frac{f(x+△x)-f(x)}{△x}=\frac{\sqrt{x+△x}-\sqrt{x}}{△x}=\frac{(\sqrt{x+△x}-\sqrt{x})(\sqrt{x+△x}+\sqrt{x})}{△x(\sqrt{x+△x}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+△x}+\sqrt{x}}$ ，所以y'=${\lim }_{△\mathrm{x}\to 0}\lim \frac{△y}{△x}={\lim }_{△\mathrm{x}\to 0}\lim \frac{1}{\sqrt{x+△x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

（二）、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

[ f(x) ± g(x) ] ' = f'(x) ± g'(x)

[ f(x) · g(x) ] ' = f'(x) ·g(x) + f(x) · g'(x)

$[\frac{f(x)}{g(x)}]$ ' = $\frac{f^{{}^{\prime }}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{{}^{\prime }}(x)}{[g(x){]}^2}$ （g(x)≠0）

一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u，y可表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f( g(x) )。

（1）复合函数y=f( g(x) )的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为：

yx'=yu' ·ux'=f '(u)·g' (x)

（2）求复合函数的导数：

例①：求函数y=(2x+3)2的导数：

解：函数y=(2x+3)2可以看作函数y=u2和u=2x+3的复合函数，

根据复合函数求导法则有：

yx'=yu'·ux' =(u2) '·(2x+3) ' =4u =8x+12

在某个区间（a，b）内，

①如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；

②如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减；

①求出函数定义域及f'(x)；

②解f'(x)>0，f'(x)<0并与定义域求交集；

③确定单调区间。

3.已知函数y=f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数的取值范围的步骤：

①求导数y= f'(x)；

②转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题；

③由不等式恒成立求参数范围；

④验证等号是否成立。

4.证明不等式g(x)>φ(x) [或g(x)≥φ(x)] 成立，可构造函数f(x)=g(x)-φ(x)，后利用导数研究函数f(x)>0 [或f(x)≥0]，从而得不等式g(x)>φ(x) [或g(x)≥φ(x)] 成立。

例①：当x>0时，证明不等式ln(x+1)>x-$\frac{1}{2}$x2 .

证明：设f(x)= ln(x+1) ，g(x)= x-$\frac{1}{2}$x2 .F(x)= f(x)- g(x) ，则F(x)= ln(x+1)- x+$\frac{1}{2}$x2 .

函数F(x)的定义域为（-1，+∞），则F' (x)=$\frac{1}{x+1}-1+x=\frac{x^2}{x+1}$ ，当x>0时，

F' (x)>0恒成立，则函数F(x)在（0，+∞）上是单调递增函数，

故F(x)>F(0)=0，从而f(x)>g(x)，即ln(x+1)>x-$\frac{1}{2}$x2 。

极大值点、极小值点

一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是：解方程f'(x)=0 ，当f'(x0)=0时：

①极大值：如果在x0附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，那么f(x0)是极大值；

②极小值：如果在x0附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，那么f(x0)是极小值；

①求函数的定义域

②求函数的导数f'(x)

③令f'(x)=0，求出全部的根x

④列表

⑤判断得结论

①不等式a≥f(x)恒成立 ：a≥f(x)的最大值 ；

②不等式a≤f(x)恒成立 ：a≤f(x)的最小值 ；

③不等式a≥f(x)有解 ：a≥f(x)的最小值 ；

④不等式a≤f(x)有解 ：a≤f(x)的最大值 。

5.一般地，求函数y=f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：

①求函数y=f(x)在[a，b]内的极值

②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。